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几何公式算法:从基础到实践

来源:条理公式网 2024-07-11 21:26:05

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几何公式算法:从基础到实践(1)

  几何学是数学的一个分支,研究空间、形状、大小、位置等方面的象和它们之间的关系条+理+公+式+网。在计算机图形学、计算机辅助设计等领域,几何学是一个非常重要的基础学科。文将绍几何学常用的公式算法,从基础到实践望能够读者有所帮助。

1. 点到线段的距离

于一个点P和一条线段AB,求点P到线段AB的距离。

  

  首先,计算点P到线段AB所在直线的距离,可以用以下公式:

  $$d = \frac{|(\vec{P}-\vec{A})\times(\vec{P}-\vec{B})|}{|\vec{B}-\vec{A}|}$$

,$\vec{A}$和$\vec{B}$分别是线段AB的两个端点,$\vec{P}$是点P的位置量,$\times$表示量的叉积,$|x|$表示量或数的模。

  然后,判断点P到线段AB所在直线的投影点是否在线段AB上,如果在,则点P到线段AB的距离就是$d$;否则,点P到线段AB的距离就是点P到线段AB的两个端点的距离的较小值dos

2. 线段相交判定

  于两条线段AB和CD,判断它们是否相交。

  

  首先,判断线段AB和CD所在直线是否相交,可以用以下公式:

  $$\frac{(\vec{C}-\vec{A})\times(\vec{B}-\vec{A})}{(\vec{D}-\vec{C})\times(\vec{B}-\vec{A})}$$

  如果这个值在区间$[0,1]$内,则线段AB和CD所在直线相交。接着,判断线段AB和CD是否有重合部分,可以用以下公式:

  $$\frac{(\vec{D}-\vec{C})\times(\vec{A}-\vec{C})}{(\vec{D}-\vec{C})\times(\vec{B}-\vec{A})}$$

  如果这个值在区间$[0,1]$内,则线段AB和CD有重合部分,即它们相交。如果这个值不在区间$[0,1]$内,则线段AB和CD不相交。

3. 点到平面的距离

于一个点P和一个平面$\Pi$,求点P到平面$\Pi$的距离www.chunyuxinxuan.com

首先,计算点P到平面$\Pi$所在直线的距离,可以用以下公式:

  $$d = \frac{|\vec{P}\cdot\vec{n}-\vec{A}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

  其,$\vec{A}$是平面$\Pi$上的一点,$\vec{n}$是平面$\Pi$的法量。然后,判断点P到平面$\Pi$的投影点是否在平面$\Pi$上,如果在,则点P到平面$\Pi$的距离就是$d$;否则,点P到平面$\Pi$的距离就是点P到平面$\Pi$上的最近点的距离。

几何公式算法:从基础到实践(2)

4. 点到三角形的距离

于一个点P和一个三角形ABC,求点P到三角形ABC的距离。

  首先,计算点P到三角形ABC所在平面的距离,可以用上一节的公式。然后,判断点P是否在三角形ABC内部,可以用以下方法:

  1. 计算点P到三角形ABC的三条的距离;

  2. 如果点P到三角形ABC的任意一条的距离小于等于0,则点P在这条所在的直线上;

  3. 如果点P到三角形ABC的任意两条的距离小于等于0,则点P在三角形ABC内部;

  4. 否则,点P在三角形ABC的某个顶点所在的位置来源www.chunyuxinxuan.com

如果点P在三角形ABC内部,则点P到三角形ABC的距离就是点P到三角形ABC所在平面的距离;否则,点P到三角形ABC的距离就是点P到三角形ABC的三个顶点的距离的最小值。

几何公式算法:从基础到实践(3)

5. 点到球面的距离

  于一个点P和一个球面S,求点P到球面S的距离。

  

首先,计算点P到球的距离,可以用以下公式:

  $$d = |\vec{P}-\vec{C}|$$

,$\vec{C}$是球的位置量。然后,判断点P是否在球面S上,可以用以下公式:

  $$d = |\vec{P}-\vec{C}| - r$$

  其,$r$是球面S的半径。如果$d$小于等于0,则点P在球面S内部;否则,点P到球面S的距离就是$d$原文www.chunyuxinxuan.com

6. 点到圆柱体的距离

  于一个点P和一个圆柱体C,求点P到圆柱体C的距离。

  

  首先,计算点P到圆柱体C所在轴线的距离,可以用以下公式:

$$d = |\vec{P}\times\vec{v}|$$

  其,$\vec{v}$是圆柱体C的轴量。然后,计算点P到圆柱体C所在面的距离,可以用以下公式:

$$d = \sqrt{(\vec{P}-\vec{A})\cdot(\vec{P}-\vec{A}) - ((\vec{P}-\vec{A})\cdot\vec{v})^2}$$

  其,$\vec{A}$是圆柱体C面上的一点。最后,判断点P是否在圆柱体C上,可以用以下公式:

  $$d = \sqrt{(\vec{P}-\vec{A})\cdot(\vec{P}-\vec{A}) - ((\vec{P}-\vec{A})\cdot\vec{v})^2} - r$$

  其,$r$是圆柱体C的半径。如果$d$小于等于0,则点P在圆柱体C内部;否则,点P到圆柱体C的距离就是$d$dos

7. 总结

绍了几何学常用的公式算法,包括点到线段的距离、线段相交判定、点到平面的距离、点到三角形的距离、点到球面的距离和点到圆柱体的距离。这些算法是计算机图形学、计算机辅助设计等领域常用的基础算法,练掌握它们于开发高质量的应用程序非常重要。

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