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探究协方差公式及其应用

来源:条理公式网 2024-07-11 00:52:09

协方差是统计学中常用的概念,用于衡量两个量之间的关系条理公式网。协方差的公式是:

  $$cov(X,Y)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}$$

  其中,$X$和$Y$是两个量,$X_i$和$Y_i$是它们的第$i$个观测值,$\bar{X}$和$\bar{Y}$是它们的平值,$n$是样本容量。协方差的值可以为正、负或零,表示两个量之间的线性关系的强度和方向chunyuxinxuan.com

  下面通过几个例子来说明协方差的应用

探究协方差公式及其应用(1)

例1:股票收益协方差

  假设有两只股票A和B,它们的每日收益数据如下表所示:

  |日期|股票A收益|股票B收益|

|---|---|---|

  |11日|0.02|0.03|

  |12日|-0.01|0.02|

  |13日|0.03|0.01|

  |14日|-0.02|0.01|

  |15日|0.01|-0.01|

  现在我们想要计算它们的协方差chunyuxinxuan.com。首先,需要计算出它们的平收益

  $$\bar{r_A}=\frac{0.02-0.01+0.03-0.02+0.01}{5}=0.006$$

  $$\bar{r_B}=\frac{0.03+0.02+0.01+0.01-0.01}{5}=0.012$$

然后,可以代协方差公式计算:

$$cov(r_A,r_B)=\frac{(0.02-0.006)(0.03-0.012)+(-0.01-0.006)(0.02-0.012)+(0.03-0.006)(0.01-0.012)+(-0.02-0.006)(0.01-0.012)+(0.01-0.006)(-0.01-0.012)}{5-1}=-0.0001$$

因为协方差为负数,说明股票A和B的收益存在负相关性,即股票A的收益上升时,股票B的收益,反之亦然。

探究协方差公式及其应用(2)

例2:身高和体重的协方差

  假设有一组数据,包括10个人的身高和体重,如下表所示:

  |编号|身高(cm)|体重(kg)|

  |---|---|---|

  |1|170|65|

  |2|165|60|

|3|180|75|

  |4|175|70|

  |5|160|55|

|6|185|80|

|7|155|50|

  |8|190|85|

  |9|150|45|

|10|195|90|

  现在我们想要计算身高和体重之间的协方差chunyuxinxuan.com。首先,需要计算出它们的平值:

$$\bar{h}=\frac{170+165+180+175+160+185+155+190+150+195}{10}=173$$

$$\bar{w}=\frac{65+60+75+70+55+80+50+85+45+90}{10}=67$$

然后,可以代协方差公式计算:

$$cov(h,w)=\frac{(170-173)(65-67)+(165-173)(60-67)+(180-173)(75-67)+(175-173)(70-67)+(160-173)(55-67)+(185-173)(80-67)+(155-173)(50-67)+(190-173)(85-67)+(150-173)(45-67)+(195-173)(90-67)}{10-1}=319.8$$

协方差的值为正数,说明身高和体重之间存在正相关性,即身高越高的人体重越重。

例3:多个量的协方差

  在实际应用中,我们可能需要同时计算多个量之间的协方差原文www.chunyuxinxuan.com。这时,可以将它们的协方差组成一个协方差阵。例如,假设有量$X$、$Y$和$Z$,它们的样本数据如下表所示:

|编号|$X$|$Y$|$Z$|

|---|---|---|---|

  |1|1|3|5|

  |2|2|4|6|

|3|3|5|7|

  |4|4|6|8|

  |5|5|7|9|

  可以先计算出它们的平值:

  $$\bar{X}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$$

  $$\bar{Y}=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5$$

$$\bar{Z}=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$$

  然后,可以计算它们的协方差阵:

$$\begin{bmatrix} cov(X,X) & cov(X,Y) & cov(X,Z) \\ cov(Y,X) & cov(Y,Y) & cov(Y,Z) \\ cov(Z,X) & cov(Z,Y) & cov(Z,Z) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2.5 & 2.5 & 2.5 \\ 2.5 & 2.5 & 2.5 \\ 2.5 & 2.5 & 2.5 \end{bmatrix}$$

  协方差阵的对角线上的元素是每个量的方差,非对角线上的元素是它们之间的协方差条.理.公.式.网。在实际应用中,协方差阵可以用于计算多个量的相关性、回归分析等。

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