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复合函数的导数公式推导

来源:条理公式网 2024-07-11 12:05:16

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复合函数的导数公式推导(1)

复合函数高等数学中的一个重要概念,也微积分中的基础内容之一条理公式网www.chunyuxinxuan.com。在实际问题中,需要对复合函数进行求导,因此,掌握复合函数的导数公式非常重要的。

一、基本定义

  首先,我们需要了解复合函数的基本定义。

  设有两个函数f(x)和g(x),则它们的复合函数为f(g(x)),也就说,先对x进行g(x)的运算,对运算结果进行f(x)的运算。

  例如,f(x) = x²,g(x) = 2x,则f(g(x)) = (2x)² = 4x²条_理_公_式_网

二、复合函数的求导法则

  对于复合函数f(g(x)),我们需要求出它的导数。据导数的定义,f(g(x))的导数可以表示为:

(f(g(x)))' = lim(Δx→0) [f(g(x+Δx)) - f(g(x))] / Δx

  我们可以将f(g(x+Δx))拆分为[f(g(x+Δx)) - f(g(x))] + [f(g(x)) - f(g(x+Δx))],然后将其代入上式,得到:

  (f(g(x)))' = lim(Δx→0) [f(g(x+Δx)) - f(g(x))] / Δx + lim(Δx→0) [f(g(x)) - f(g(x+Δx))] / Δx

据导数的定义,第一项即为g(x)的导数g'(x),第二项即为f'(g(x))。因此,我们可以得到复合函数的导数公式:

  (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

  这个公式也被称为链式法则。它表明,对于复合函数f(g(x)),它的导数等于f'(g(x))与g'(x)的乘积条 理 公 式 网

复合函数的导数公式推导(2)

三、应用举例

下面我们通过几个例子来说明如应用复合函数的导数公式。

  例1:求f(x) = sin(x²)的导数。

令g(x) = x²,f(x) = sin(x),则f(g(x)) = sin(x²)。据链式法则,有:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

  f'(x) = cos(x),g'(x) = 2x

  因此,f'(g(x)) = cos(x²),g'(x) = 2xbVWA。将它们代入公式,得到:

  (sin(x²))' = cos(x²) * 2x

例2:求f(x) = ln(1 + e²x)的导数。

  令g(x) = 1 + e²x,f(x) = ln(x),则f(g(x)) = ln(1 + e²x)。据链式法则,有:

  (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

  f'(x) = 1/x,g'(x) = 2e²x

因此,f'(g(x)) = 1 / (1 + e²x),g'(x) = 2e²x。将它们代入公式,得到:

  (ln(1 + e²x))' = 2e²x / (1 + e²x)

  例3:求f(x) = (x³ + 1)²的导数bVWA

  令g(x) = x³ + 1,f(x) = x²,则f(g(x)) = (x³ + 1)²。据链式法则,有:

  (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

  f'(x) = 2x,g'(x) = 3x²

因此,f'(g(x)) = 2(x³ + 1),g'(x) = 3x²。将它们代入公式,得到:

  ((x³ + 1)²)' = 2(x³ + 1) * 3x²

  综上所述,复合函数的导数公式非常重要的,它可以帮我们求解各实际问题。在学微积分的过程中,我们需要加练,掌握这个公式的应用技巧条 理 公 式 网

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