条理公式网
首页 公式资讯 正文

幂函数积分公式的推导及应用

来源:条理公式网 2024-07-11 10:46:13

目录:

幂函数积分公式的推导及应用(1)

幂函数积分公式微积分中一个非常重要的公式,它以用来算幂函数的不定积分原文www.chunyuxinxuan.com。本文将介幂函数积分公式的推导过程,并且讨论一些应用

一、幂函数积分公式的推导

  我们先来考虑一个简单的幂函数 $f(x)=x^n$ 的不定积分。根据微积分的基本公式,我们以得到:

  $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

  其中 $C$ 常数chunyuxinxuan.com。这个公式以通过反求导来验证。现在我们来考虑如何推到一般的幂函数 $f(x)=x^k$,其中 $k$ 任意数。

  我们以通过换元法来推导幂函数积分公式条+理+公+式+网。设 $u=x^k$,则有:

  $$\frac{du}{dx}=kx^{k-1}$$

$$dx=\frac{1}{kx^{k-1}}du$$

  将 $dx$ 代入原式中,得到:

  $$\int x^k dx=\int \frac{1}{k}u^{\frac{1}{k}}du=\frac{1}{k+1}u^{\frac{k+1}{k}}+C=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C$$

幂函数积分公式的推导及应用(1)

这就幂函数积分公式的一般形式。我们以看到,当 $k$ 数时,这个公式和我们之前推导的结果一致的。

二、幂函数积分公式的应用

  幂函数积分公式在微积分中应用泛,下面我们来介一些常见的应用原文www.chunyuxinxuan.com

  1. 算定积分

  我们用幂函数积分公式来算定积分。例如,算 $\int_{0}^{1}x^2dx$,根据幂函数积分公式,有:

  $$\int_{0}^{1}x^2dx=\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$$

  2. 算曲线下的面积

我们用幂函数积分公式来算曲线下的面积。例如,算 $y=x^2$ 在 $x\in[0,1]$ 区间内所围成的面积,以用下面的公式:

  $$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$$

  3.

我们用幂函数积分公式来来自www.chunyuxinxuan.com。例如,算 $y=x^2$ 在 $x\in[0,1]$ 区间内绕 $x$ 轴转所得到的积,以用下面的公式:

  $$V=\pi\int_{0}^{1}x^4dx=\frac{\pi}{5}$$

  结论

  幂函数积分公式微积分中一个非常重要的公式,它以用来算幂函数的不定积分,并且在算定积分、曲线下的面积以及积等问题中都有泛的应用。

我说两句
0 条评论
请遵守当地法律法规
最新评论

还没有评论,快来做评论第一人吧!
相关文章
最新更新
最新推荐